La loi des grands nombres

Le premier théorème important sur les probabilités à avoir été établi est la loi des grands nombres. L’histoire raconte que Jacob Bernoulli a pris une vingtaine d’années pour construire une preuve satisfaisante de ce théorème. Dès cette époque, fin du XVIIe siècle, cette loi a été interprétée comme établissant un lien fondamental entre la théorie des probabilités et la réalité des processus aléatoires. Dans les recherches sur la cognition humaine, la loi des grands nombres est l’un des résultats les plus souvent invoqués car ce résultat est vu comme un des fondements important de règles normatives pour les jugements en probabilité. Par ailleurs, pour le monde ordinaire, il existe aussi une forme de loi des grands nombresqui est souvent invoquée. Dans tous ces cas, cette loi est perçue comme permettant de prédire quelque chose de précis sur le comportement de phénomènes par ailleurs aléatoires.Dans la présente section, nous allons voir que ce résultat mathématique a le même statut, en relation avec les recherches sur la cognition humaine, que les autres résultats de ce type?il ne peut être utilisé pour définir des règles normatives pour évaluer les jugements humains car, en lui-même, il ne dit rien sur les phénomènes aléatoires.Mais avant de considérer cette question, voyons certaines des interprétations qui sont données de cette loi des grands nombres. Étant donné que la signification de ce résultat mathématique, de même que sa relation à l’univers des expériences aléatoires, n’est pas facile à cerner, il n’est pas surprenant de rencontrer des interprétations qui soient invalides. Ci-dessous nous fournissons deux exemples de telles interprétations :

La loi des grands nombres : une loi d’équitéImaginons que deux équipes de force égale, A et B, se rencontrent aujourd’hui. Dans leurs cinq dernières rencontres, l’équipe A a gagné. Certains pourraient alors invoquer la loi des grands nombres pour prédire une victoire de l’équipe B dans la rencontre d’aujourd’hui.Dans cette interprétation, la loi des grands nombres est vue comme une loi d’équité prédisant un rapide retour à l’équilibre pour des événements par ailleurs aléatoires ! Bien entendu une telle interprétation n’est donnée que par des personnes qui n’ont pas étudié, comme tel, le théorème de Bernoulli. Mais, dans la littérature scientifique, on trouve des interprétations toutes aussi incorrectes de ce théorème. L’interprétation qui suit fut donnée par J. Cohen (1981).

Que dire de cette interprétation ? Ce résultat fait probablement partie du bagage conceptuel de la majorité des humains car ce qu’il affirme c’est tout simplement que plus nous choisissons un échantillon qui est grand et plus nous augmentons nos chances d’obtenir un portrait adéquat de la population entière sur une caractéristique donnée ! Nous croyons qu’une majorité de personnes seraient en accord avec les données du tableau ci-dessous lesquelles représentent une instance de la loi de Cohen.

La population pourrait, par exemple, être la population des adultes américains et la caractéristique étudiée être le fait de posséder une voiture ou non.L’interprétation de Cohen correspond à une proposition que l’on pourrait vérifier sur une base expérimentale mais elle n’est pas équivalente à la loi des grands nombres, obtenue par Bernoulli, qui concerne plutôt la répétition potentiellement infinie d’expériences indépendantes.Dans les paragraphes qui suivent nous allons montrer que cette loi des grands nombres est essentiellement un résultat arithmétique, qui ne peut, comme tel, être interprété comme prédisant quoi que ce soit sur les phénomènes aléatoires.

Signalons tout d’abord que les présentations usuelles et les preuves du résultat sont très abstraites dans le sens qu’elles font appel, d’une manière fondamentale, à des concepts et résultats très généraux 8 . Cela rend difficile une compréhension juste du théorème et surtout son interprétation relativement à l’univers des processus aléatoires. Afin de surmonter cette difficulté nous allons utiliser des exemples.

Pour cela, considérons l’ensemble An de toutes les suites de longueur n pouvant être formées à l’aide des symboles 0 et 1. Des exemples d’éléments de A10 seraient : 0110001000, 1011011110, 1010101010. Pour chaque valeur fixe de n, certains des éléments de An auront un faible pourcentage de ‘0’, d’autres un fort pourcentage de ‘0’ et d’autres à peu près le même pourcentage de ‘0’ que de ‘1’.

Posons-nous alors la question suivante : dans l’ensemble An, quel est le pourcentage de suites (qu’on pourrait appeler S-équilibrées) qui ont un pourcentage de ‘0’ compris entre (50 – S) % et (50 + S) % pour un nombre positif S fixé ?

Considérez le tableau suivant :

Qu’est ce qui ressort de ce tableau ? Il semble que plus la valeur de n augmente, plus le pourcentage de suites, dans l’ensemble An, ayant entre 48% et 52% de ‘0’ se rapproche de 100%.La loi des grands nombresest une généralisation majeure de cette observation arithmétique. On peut donner à S une valeur aussi petite que désirée et il sera toujours vrai que plus n augmente et plus le pourcentage de suites ayant entre (50-S)% et (50+S)% de ‘0’ se rapprochera de 100%.Examinons le tableau qui suit où S= 0.1.

Ainsi, en faisant croître n, le pourcentage des suites ayant entre 49.9% et 50.1% de ‘0’ se rapproche de plus en plus de 100%. Cela veut dire que, lorsque n est très grand, presque toutes les suites ont approximativement le même pourcentage de ‘0’ et de ‘1’ !À l’époque de Bernoulli il aurait été impossible de faire les calculs nécessaires pour compléter cette table. Et même aujourd’hui, cela n’est pas simple étant donné que de tels calculs portent sur des nombres extrêmement grands. Aidé d’un assistant de recherche, Eric Bleicher, nous avons développé une méthode qui permet, à l’aide d’un ordinateur, d’effectuer les calculs requis. Fait intéressant à souligner, il aurait été possible d’obtenir les valeurs des tableaux 2 et 3 en utilisant un résultat de la théorie des probabilités (approximation de la distribution binomiale par la distribution normale). Mais, nous voulions montrer que le résultat peut se situer, aujourd’hui, dans le cadre de l’arithmétique combinatoire !Ce remarquable résultat arithmétique est au cŒur de la loi des grands nombres mais il ne concerne pas directement les phénomènes aléatoires 9 . Il est possible, par ailleurs, d’établir un lien entre ce résultat arithmétique et des expériences aléatoires comme celle de lancer une pièce de monnaie. On peut, en effet, penser que chaque suite est générée par le lancer d’une pièce de monnaie : ‘0’ étant un symbole pour face et ‘1’ pour pile. Que signifie alors le résultat arithmétique en regard de cette interprétation ? Si n est suffisamment grand, presque toutes les suites pouvant être formées avec les symboles face et pile comprendront approximativement le même pourcentage de faces et de piles.

Mais avant de pouvoir affirmer que si on lançait effectivement une pièce de monnaie, disons 2,000,000 de fois, la probabilité serait très forte que les pourcentages de piles et de faces soient à peu près équivalents, il faut construire un modèle probabiliste sur l’ensemble des séquences de longueur 2,000,000. La seule façon simple est de poser que chaque suite de longueur 2,000,000 a la même probabilité d’être produite, si on lance une pièce de monnaie 2,000,000 de fois. Cela implique, par exemple, qu’une suite formée de deux millions de ‘0’ a la même probabilité (½) 2 000 000 que toute autre suite comme 00101… 01001 de même longueur. Maintenant, comme presque toutes les suites ont approximativement le même pourcentage de faces et de piles et comme, par hypothèse, chaque suite a la même probabilité d’être produite, on voit que la probabilité d’obtenir une suite qui comprendra à peu près le même pourcentage de faces que de piles, si on lançait une pièce 2,000,000 de fois, est très forte.Le passage d’un résultat arithmétique à un résultat probabiliste dépend toutefois d’une modélisation dans laquelle chaque suite reçoit la même probabilité que toute autre. Mais, comme de nombreuses investigations l’ont montré, des suites de même longueur ne sont généralement pas perçues comme ayant la même chance de survenir : par exemple, une suite de longueur 10 comme 0000000000 est souvent perçue comme ayant moins de chances de survenir qu’une autre telle 0100101101 (Wagenaar, 1970 ; Falk, 1981 ; Kahneman et Tversky, 1972a ; Teigen, 1983).Cette conception erronée semble relié à la difficulté que les humains ont de voir les lancers successifs d’une pièce comme indépendants. Si on perçoit une suite formée de dix 0 consécutifs comme pratiquement impossible c’est que l’on attend un pile, après quelques faces consécutives, et si ce pile ne survient pas, la suite apparaîtra irréaliste. Par contre, la seconde suite, ci-dessus, est davantage en accord avec la perception intuitive que l’on a du hasard.

De nombreux résultats de la théorie des probabilités dépendent directement de l’hypothèse d’indépendance. Dans le cas de la loi des grands nombres, on a vu que sans hypothèse sur la probabilité des suites, la loi est uniquement un résultat de la mathématique combinatoire qui ne peut être interprété d’une façon univoque dans l’univers des expériences aléatoires. L’exemple considéré est typique : pour celui ou celle qui ne perçoit pas l’hypothèse d’indépendance comme vraie, aucun résultat mathématique qui en dépend ne peut être interprété comme signifiant quoi que ce soit en relation avec la réalité des phénomènes aléatoires.Dans la première section de cet article, nous avons donné quelques exemples de règles normatives pour le jeu de la roulette américaine. La raison pour laquelle ces règles ne peuvent être justifiées en se basant uniquement sur le raisonnement devrait maintenant être apparente. Si on ne peut, par exemple, prouver qu’il n’y a pas de façons utiles d’utiliser l’information provenant des tours passés à la roulette, c’est qu’une telle preuve utiliserait, de manière essentielle, l’hypothèse d’indépendance entre les différents tours de la roulette. Mais, pour celui ou celle qui croit que ces résultats passés fournissent de l’information utile, une telle hypothèse est tout à fait absurde ! La situation est semblable pour la troisième règle : «Si on joue suffisamment longtemps, on est certain de perdre». Afin de prouver cette proposition, on argumenterait que l’espérance mathématique d’un pari à ce jeu est négative. Mais, pour évaluer cette espérance mathématique on doit supposer l’indépendance des tours de roulette. Pour celui ou celle qui croit, par exemple, qu’après cinq rouges consécutifs la probabilité de noir devient plus grande que celle de rouge, l’utilisation de la probabilité comme un nombre fixe, est inappropriée. Ainsi, si on considère que la probabilité d’un événement est, d’une certaine façon, une variable dépendante des résultats passés il n’est pas impératif de croire que l’on sortira perdant, éventuellement, en jouant à un jeu dont l’espérance mathématique est négative !Que peut-on retirer de ce qui précède ? Si l’on croît que par le raisonnement il y a une façon de justifier les règles normatives des jugements sur la probabilité, on utilisera des arguments pour convaincre les sceptiques. Par ailleurs, si on comprend que les règles normatives ne peuvent être justifiées par des arguments, cela peut vraiment changer l’approche didactique du problème des conceptions erronées.

Le présent article a illustré l’importance qu’il y a à s’intéresser au problème des conceptions erronées sur le hasard mais il n’a pas indiqué de méthodes qui permettraient aux étudiants de se construire des modèles du hasard davantage conformes à cette réalité. Ce serait là l’objet principal d’un prochain article où l’on illustrerait l’intérêt des simulations sur ordinateur en relation avec ce problème didactique. Cet article, en présentant l’histoire du développement de la théorie mathématique des probabilités jusqu’à nos jours, pourrait aussi permettre de mieux comprendre que les conceptions erronées ne sont aucunement liées à la théorie mathématique des probabilités mais plutôt aux modèles que l’on construit afin de pouvoir l’exploiter en relation avec des réalités de notre monde.

Remerciement

Je tiens à remercier le comité de rédaction du bulletin AMQ, ainsi que les deux arbitres, de m’avoir fait de nombreuses suggestions pertinentes qui auront permis d’améliorer grandement la lisibilité du texte.

8. Ainsi, par exemple, la preuve usuelle de ce qu’on appelle la Loi faible des Grands Nombres est basée sur un résultat très général appelé l’Inégalité de Tchébycheff.9. Signalons que le résultat prouvé par Bernoulli concerne des séquences plus générales que celles que nous avons considérées. Par exemple, le résultat serait le même si nous considérions des séquences formées avec les symboles 1,2,3,4,5,6: lorsque n croît, presque toutes les séquences comprendraient approximativement le même pourcentage de chacun des six symboles 1,2,3,4,5 et 6.