Regards sur les probabilités et leurs relations à la réalité

3. Regards sur les probabilités et leurs relations à la réalité
3.1 Les débuts de la théorie mathématique des probabilités
Bien que Blaise Pascal et Pierre de Fermat ne furent pas les premiers à s’intéresser à des questions de probabilité, l’évolution scientifique du concept de probabilité n’a débuté véritablement qu’en 1652 à l’occasion d’un échange de lettres entre ces deux mathématiciens. Leur démarche les mena tout d’abord à donner une définition opérationnelle de la probabilité qui, bien qu’ambiguë et d’application limitée, associe un nombre, qu’ils appellent la probabilité, à un événement aléatoire. Ils définirent la probabilité d’un événement comme suit :
 Si des n résultats équipossibles d’une expérience aléatoire m d’entre eux amènent l’événement A alors la probabilité de A est m/n.

 

Une conséquence intéressante de cette définition est qu’en l’utilisant Pascal put facilement fournir une solution à un des problèmes que lui avait soumis le Chevalier de Méré, un joueur invétéré. Ce problème est le suivant :
 On lance un dé normal jusqu’à 4 fois. Si on obtient au moins un six on gagne un certain montant, si aucun six n’apparaît en 4 lancers on perd ce même montant. Est-ce que ce jeu est équitable ?

 

Au moyen d’un raisonnement qui nous est inconnu, De Méré s’était convaincu que ce jeu était équitable. Pourtant au jeu lui-même, pour lequel il tenait des statistiques, il semblait qu’il y avait un très léger avantage pour celui qui préférait parier sur l’occurrence d’au moins un six en 4 lancers.

On peut utiliser la définition de Pascal pour évaluer la probabilité d’au moins un six. Tout d’abord, nous évaluons la probabilité d’aucun six en 4 lancers.

Il y a 64 = 1296 résultats différents et
54 = 625 où aucun six ne survient.
La probabilité d’aucun six en 4 lancers est donc égale à 625/1296 = 0.4823. La probabilité d’au moins un six est donc égale à 1 ? 0.4823 = 0.5177.

De Méré parut satisfait de cette solution car elle était compatible avec ses données expérimentales. Les calculs de probabilité ci-dessus sont normalement considérés comme apportant une solution mathématique au problème posé. Mais est-ce que les choses sont aussi simples ?

Posons-nous la question suivante : qu’est-ce que Pascal a vraiment prouvé par son calcul? Il s’agissait du fait arithmétique suivant : parmi les 1296 résultats possibles de quatre lancers d’un dé, il y en a 671 pour lesquels au moins un six est présent et dans les 625 autres il n’y a pas de six. Maintenant, pour quiconque pense que les 1296 résultats possibles ont la même chance de survenir, il devrait être évident que la solution rationnelle consiste à parier sur le fait qu’un six surviendra, au moins une fois, en quatre lancers. Mais l’hypothèse que tous les cas sont également probables ne peut être démontrée à l’intérieur du calcul des probabilités de Pascal ni par aucun autre moyen purement théorique. Par contre, cette hypothèse pourrait être testée statistiquement sur la base de données provenant, disons, de la répétition, un million de fois, de l’expérience consistant à lancer un dé quatre fois !

Nous examinons, ci-dessous, plus en détails, le concept d’équiprobabilité car il s’agit du concept clé de cette section. Pour Pascal et ses successeurs, l’équiprobabilité des résultats n’était même pas une hypothèse car cela correspondait à une vérité qui allait de soi dans notre univers. Pascal ne pouvait en effet voir aucune raison pour laquelle on pouvait imaginer qu’un résultat tel <5,5,5,5> avait moins de chances de survenir qu’un autre tel <6,3,4,5>.

Pour Pascal, l’équiprobabilité était une conséquence de l’indépendance entre les lancers du dé. Cette indépendance signifiait que le résultat de tout lancer n’est aucunement influencé par le résultat d’un lancer précédent. Par exemple, si les deux premiers lancers ont amené le quatre alors le quatre a encore la même chance, une sur six, de survenir au prochain lancer. Ainsi pour quiconque croit à l’indépendance des lancers, tous les résultats possibles ont même chance de survenir.

Cette perspective sur l’équiprobabilité montre cependant qu’il s’agit d’une hypothèse qui porte sur la réalité et non d’un principe purement logique. Pour plusieurs joueurs (Wagenaar, 1982 ; Henslin, 1967), de même que pour une forte proportion d’humains, une telle hypothèse est implicitement fausse car ils utilisent des heuristiques qui reposent sur la croyance que les résultats passés ont une influence sur les résultats futurs.

L’exemple du problème du chevalier de Méré fournit un indice d’un point très important qui sera développé plus loin : le raisonnement mathématique ne permet pas d’aller au-delà de certaines limites : lorsqu’elles sont atteintes, on doit se baser sur des hypothèses pour obtenir des résultats qui seront interprétables dans le monde des processus aléatoires.

Dans son ouvrage, Calcul des probabilités, Poincaré (1912) avait déjà signalé cette difficulté de la théorie des probabilités :

 Comment pouvons-nous déterminer, a priori, que tous les cas sont équiprobables ? La détermination par la mathématique est impossible. Dans chaque situation, on doit poser des hypothèses et spécifier que les différents cas seront considérés comme équiprobables. Ces hypothèses ne sont pas complètement arbitraires mais nous ne devons jamais oublier que ce sont uniquement des hypothèses.

 

Le prochain exemple illustre que les conceptions erronées, dans le domaine des probabilités, peuvent être liées à des aspects de la modélisation pour lesquels la mathématique des probabilités n’offre aucun support. L’exemple illustrera aussi la difficulté de justifier les règles normatives en ce domaine.

Au jeu de LOTO 6/49, six boules sont choisies au hasard à partir d’un boulier qui en contient 49. Avant le tirage, les parieurs auront sélectionné une ou plusieurs combinaisons de 6 numéros. Pour gagner un prix, le nombre de coïncidences entre nos choix et les numéros tirés doit être de 3 ou plus ; on gagne le gros lot si on a sélectionné les 6 bons numéros.

Posons-nous la question suivante :

 Au LOTO 6/49, quelle est la probabilité de gagner le gros lot si on choisit la seule combinaison suivante : {1,2,3,4,5,6} ? (rappelons qu’il s’agit d’un tirage sans remise)

 

Pour un mathématicien, un tel problème est trivial. Utilisant un résultat bien connu de la combinatoire, on dénombre le nombre de résultats possibles à ce jeu (13, 983, 816). La probabilité d’une quelconque combinaison est alors 1 sur 13, 983, 816. En faisant ce calcul, le mathématicien a implicitement utilisé l’hypothèse que deux combinaisons quelconques avaient les mêmes chances de survenir. Mais, pour le monde ordinaire, cette hypothèse n’a aucun sens car les différentes combinaisons ne sont pas perçues comme ayant les mêmes chances. Si on demande à des sujets de choisir une des deux combinaisons suivantes {1,2,3,4,5,6} ou {7,13,22,34,41,47}, pratiquement tout le monde choisit la seconde

Ce qui est intéressant, en relation avec cet exemple, c’est la règle normative qui affirme que deux combinaisons quelconques ont les mêmes chances de survenir. Comment savons-nous que cette règle est vraie ? En premier lieu il est impossible de démontrer un tel résultat en se situant à l’intérieur de la théorie des probabilités. Même si on accepte que chaque boule a la même chance que toute autre de survenir, il ne s’ensuit pas que deux combinaisons de 6 chiffres ont la même chance. De plus, en raison du nombre faramineux de combinaisons possibles, il serait impossible de définir une expérience dont les résultats fourniraient un appui à cette hypothèse. Ceci fournit un très bel exemple d’une règle normative qui ne peut être justifiée ni par la mathématique ni par des expériences concrètes.

Voici une autre illustration du fait que les conceptions erronées sont liées à la modélisation et non à la mathématique des probabilités. Supposons qu’une personne croit qu’après cinq rouges consécutifs à la roulette le noir a plus de chance que le rouge de survenir au prochain tour. Une telle croyance n’est pas en opposition avec la mathématique des probabilités. Lorsque nous construisons un modèle pour la roulette en associant au rouge une probabilité de ½ (supposant qu’il n’y a pas de 0), il s’agit en fait d’une hypothèse et non d’un résultat. Mais cette hypothèse n’est pas suffisante pour, par exemple, calculer la probabilité d’obtenir, disons, trois fois le rouge et trois fois le noir lors des 6 prochains tours de la roulette. Avant de faire quelques calculs, on doit postuler une mesure de probabilité sur l’ensemble des 64 séquences possibles et le choix naturel est la mesure uniforme. Ce postulat implique, par exemple, que les séquences RRRRRR et RRRRRN ont la même probabilité. Pour celui ou celle qui pense que le noir a plus de chances que le rouge après 5 rouges de suite ce modèle sera perçu comme inapproprié. En bout de piste, la validité de tels modèles de base ne pourrait être établie que par des expériences systématiques.

En examinant des exemples simples, nous avons voulu illustrer la difficulté de justifier les règles normatives. Dans la section suivante nous considérons une règle normative plus fondamentale qui est souvent utilisée pour évaluer les conceptions humaines en matière de probabilité 7 .

7. Si les deux combinaisons étaient perçues comme équiprobables, on comprendrait que la chance de gagner le gros lot est infinitésimale.

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