Comment arrive-t-on à la formule précise écrite ci-dessus donnant la concentration d'oxygène en fonction du temps? Sûrement pas par tâtonnement! On obtient en fait cette fonction en résolvant une équation d'un type particulier, l'équation différentielle que voici :

Sans entrer dans les détails techniques de la résolution, tentons d'expliquer en quoi il s'agit d'une équation différentielle et le cheminement typique qui conduit à poser une telle équation.

La notation C'(t) à gauche de l'égalité, où la variable C est affectée d'un « prime », ne vous est peut-être pas familière : elle désigne la vitesse de variation de cette variable à l'instant t , c'est-à-dire la vitesse à laquelle la concentration d'oxygène varie à cet instant, en % par heure. Par exemple, l'égalité C'(0) = -0,02 s'interprèterait ainsi : à l'instant t = 0, la concentration de O2 diminue instantanément à la vitesse de 2 % par heure; à t = 0,5 (30 minutes plus tard), on pourrait avoir C'(0,5) = -0,018 , soit une diminution plus lente de la concentration. La vitesse de variation de C étant elle-même variable dans le temps, C'(t) est naturellement une fonction du temps, qu'on appelle la dérivée de la fonction C(t). C'est la présence de la dérivée C'(t) dans l'équation précédente qui lui vaut l'appellation d'équation différentielle. (On a eu recours à l'intuition de vitesse pour expliquer le concept de dérivée; pour une véritable définition mathématique de ce concept, lire la section à la fin de cette capsule.)

Revenons à l'équation différentielle

Cette équation, qui doit être vérifiée à tout instant t, impose une condition très forte sur la fonction du temps C(t) par l'intermédiaire de sa vitesse de variation : à tout instant, cette dernière est fixée par la valeur de C conformément à l'équation. Les mathématiciens ont démontré, sous des hypothèses très générales, qu'une telle équation différentielle admet une solution unique C(t) si l'on spécifie une « condition initiale », c'est-à-dire la valeur de la fonction C(t) à un instant donné. Dans notre cas, la condition initiale est : C = Cext à t = 0, qui exprime que la concentration initiale de O2 dans l'emballage coïncide avec la concentration ambiante de ce gaz. C'est ainsi qu'on obtient la fonction écrite au début, par un calcul élaboré partant de l'équation différentielle. Ce calcul étant plutôt technique, on vous en épargne les détails.

Mais d'où vient l'équation différentielle suivantes?

Elle traduit simplement le bilan de la variation du volume d'oxygène dans un intervalle de temps très court : la vitesse de variation du volume de O2 dans l'emballage à un instant donné est égale à la vitesse d'entrée de ce gaz due à la perméabilité de la pellicule, moins la vitesse à laquelle ce gaz est consommé par la respiration de la salade. On a fait l'hypothèse que la vitesse d'entrée (premier terme au membre droit de l'équation) est proportionnelle tant à l'aire de la pellicule qu'à la différence des concentrations d'oxygène de part et d'autre de la pellicule, en accord avec la loi physique régissant la diffusion d'un gaz par perméabilité, la constante de proportionnalité étant K1. Quant à la vitesse de consommation de l'oxygène par respiration (second terme), on la suppose proportionnelle à la masse de la salade emballée.

L'équation différentielle nous fait comprendre plus profondément la dynamique du phénomène étudié. Ici, la respiration, qui fait diminuer la quantité d'oxygène dans l'emballage, augmente de ce fait l'écart entre la concentration de O2 à l'intérieur et à l'extérieur, ce qui a pour effet d'augmenter la vitesse d'entrée de ce gaz par perméabilité. Cette vitesse d'entrée compense donc de plus en plus la vitesse de consommation par respiration (constante), si bien qu'il s'établit un équilibre à long terme : la concentration d'oxygène devient pratiquement stationnaire à l'intérieur de l'emballage. Toutes ces informations, tirées directement de l'équation différentielle, sont confirmées d'une manière précise par la solution obtenue et son graphique.

Une dernière remarque pour terminer ce survol du concept d'équation différentielle. Il arrive fréquemment, même pour une équation différentielle relativement simple, qu'on soit dans l'impossibilité d'écrire ses solutions sous une forme explicite comme dans l'exemple que nous avons traité.