Il existe de nombreux modèles mathématiques permettant d'étudier la croissance d'une population. Le terme population est utilisé ici au sens le plus large - il peut s'agir d'une population d'humains, d'animaux, de plantes, de personnes infectées par un virus etc.

Pour construire un modèle mathématique, il est nécessaire de faire des hypothèses. Ces hypothèses jouent deux rôles : préserver certaines caractéristiques essentielles de la réalité et simplifier suffisamment cette réalité afin qu'elle puisse être étudiée par la mathématique.

Dans le premier des deux modèles présentés ci-dessous, l'hypothèse sera la suivante : le taux de variation de la population est proportionnel, en tout temps t, à la population P(t) présente au temps t.

On peut penser, à priori, que cette hypothèse est raisonnable pour une foule de situations. Par exemple plus la population humaine est grande et plus le taux de variation de cette population, exprimé en nombre de personnes qui s'ajoutent par unité de temps, sera grand. De même, plus il y a de personnes infectées par un virus et plus, dans les semaines qui viennent, il y aura de nouveaux cas de personnes infectées.

Mathématiquement, cette hypothèse peut se traduire à l'aide du concept de dérivée. Rappelons que la dérivée d'une fonction Y = f(X) est une autre fonction, notée f', ou encore . Cette nouvelle fonction permet de calculer le taux de variation (ou de croissance) de la première fonction f(X) selon la valeur de la variable X. Si on trace la fonction f(X) sur un graphique, la dérivée f'(X) a comme valeur la pente de la tangente à f(X) au point (X, f(X)).

Cette équation différentielle est un modèle mathématique représentant une situation où le taux de croissance de la population est proportionnel à la grandeur de la population en tout temps t. Dans ce cas, k est une constante et on verra plus loin comment on peut la déterminer. Dans certaines situations, la valeur de k est négative indiquant le fait que la population diminue avec le temps au lieu de croître.


Ce que l'on souhaite connaître, c'est la fonction P(t), qui exprime la population P en fonction du temps t. Ainsi, on pourra prédire la grandeur de la population en tout temps futur. Pour trouver la fonction P, il faut résoudre l'équation différentielle. Bien que dans ce cas précis il soit facile de résoudre l'équation différentielle proposée, nous n'examinerons pas cette question. Il ne s'agit pas en effet dans ce document de donner un cours sur les équations différentielles mais plutôt d'illustrer comment ce type d'équations survient dans l'analyse de diverses réalités.


En premier lieu nous déterminerons la valeur de la constante k, à partir de données démographiques pour l'année 1965. À cette époque, il y avait 3 milliards de personnes (3 x 109) sur la planète Terre. De plus, à cette époque, la population augmentait de 54 millions par année (54 x 106).


Ainsi, en 1965, . La constante k est donc égale à 54 x 106 / 3 x 109, soit 0,018. L'équation différentielle a pour solutions l'ensemble des fonctions ayant la forme suivante : P(t) = A e0,018 t. Rappelons que le nombre e est une constante mathématique dont la valeur est 2,71828...

Mais que représente la constante A dans cette dernière équation? Pour le savoir, il suffit d'évaluer P(t) au temps 0 (en 1965). P(0) = A e0,018 x 0 = A. Ainsi, A est la population au temps 0, soit 3 x 109. La solution de l'équation différentielle correspondant à la situation que nous étudions est donc :

Si on évalue P(37), cela nous fournira la prédiction pour la population en 2002. On trouve 5,84 milliards ce qui est assez proche de la réalité d'aujourd'hui. (En quelle année devrions-nous atteindre 7 milliards?)

Le modèle de croissance que nous avons présenté ne peut par contre être valable sur de très longues périodes de temps. En effet, si on calculait, en utilisant l'équation précédente, la population dans 7 siècles le résultat serait que sur chaque mètre carré de la terre, excluant l'eau, il y aurait, en moyenne, dix humains! De même, une population de personnes infectées par un virus ne peut pas vraiment être décrite par un tel modèle.

Ces derniers résultats nous enseignent que si on veut élaborer une modélisation de la croissance d'une population, qui soit davantage conforme à la réalité, il va falloir modifier nos hypothèses initiales. Dans le cas de la croissance d'une population humaine, certains facteurs vont jouer, on l'espère du moins, bien avant que la situation ne se détériore assez pour rendre la vie impossible sur terre. De même, dans le cas de la propagation d'un virus, on va devoir tenir compte qu'il y a une certaine limite, que nous nommerons M, à la population susceptible d'être infectée. Dans le cas d'une épidémie, par exemple, ce n'est jamais l'ensemble de la population qui entrera en contact avec le virus et, de plus, il y aura toujours un pourcentage de personnes immunisées contre le virus.

Si¸ par exemple, on s'intéressait à la croissance, au Québec, d'une certaine épidémie, on pourrait, dans certaines circonstances, estimer que le nombre maximum M de gens pouvant être infectés est de 500 000. Dans de telles conditions, plus le nombre de personnes infectées P s'approcherait de M, plus le taux de croissance devrait diminuer pour atteindre 0 si jamais P devenait égal à M.

Le modèle mathématique suivant tient compte de cette limite M et, même s'il ne décrit pas de façon parfaite la réalité de la diffusion d'une épidémie, il permet de déterminer, avec une assez bonne approximation, le nombre de personnes infectées en tout temps t.

Dans le cas où P représente la population infectée par un virus au temps t, l'équation précédente nous dit que le taux de croissance de la population infectée est proportionnel au produit de la grandeur de la population infectée et de la différence entre la limite M et la grandeur de P. Ainsi, si jamais P devenait égaler M, vaudrait 0, ce qui indiquerait que le nombre de personnes infectées deviendrait stationnaire. Nous indiquons ci-dessous, sans justifications, les solutions de cette équation différentielle :

P(t) = (M x P(0)) / (P(0) + (M - P(0))e-Mkt)

À partir de cette solution générale de l'équation différentielle on peut prévoir les développements de la maladie dans les semaines suivantes. Le graphique suivant fournit la solution pour le cas où M = 500 000, P(0) = 10 000 c'est à dire qu'au départ il y a 10 000 personnes infectées et k = 8 x 10-8.