Qu'est ce qui fait qu'un problème mathématique est facile ou difficile à résoudre? Il y a tellement de facteurs en jeu que l'on ne peut donner une réponse générale qui soit satisfaisante à une telle question. Mais un fait est bien connu de tous les mathématiciens appliqués et des ingénieurs : lorsqu'un phénomène physique, économique, biologique ou autre exhibe des caractéristiques de non-linéarité, il est beaucoup plus difficile de le modéliser puis de l'étudier à l'aide de la mathématique.

Le terme linéaire n'est facile à définir car il se retrouve dans différents secteurs de la mathématique avec des significations légèrement différentes. En géométrie, par exemple, la linéarité réfère à des objets tels des droites, des plans, l'espace tridimensionnel. De tels objets apparaissent identiques peut importe l'endroit ou nous sommes pour les examiner. Par ailleurs une sphère est un objet non-linéaire. Si on l'examine de proche la sphère ressemblera à un plan, c'est le cas de la terre par exemple, et si on l'examine de très loin elle ressemblera à un point, c'est le cas des étoiles par exemple.

En algèbre il y a différents types de linéarité. Limitons-nous ici à ce qu'on appelle les équations linéaires.

À l'école secondaire chacun de nous a pu constater qu'une équation algébrique qui ne fait pas intervenir des puissances de l'inconnue supérieure à 1 est plus facile à résoudre qu'une équation quadratique. Par exemple : 2x - 2 = 0 est plus facile à résoudre que 2x2 + 4x + 3 = 0. De même, il sera plus facile de résoudre un système de deux équations linéaires telles : x + y = 7 et 2x - y = 4 que le système non linéaire suivant : 2x2 + 4y2 + 3 = 0 et 3x3 - 4y + 5 = 0.

À quoi correspond ce concept de linéaire dans le domaine des équations algébriques? Pour y voir clair, il est utile de regarder la résolution d'une équation ou d'un système d'équations d'un point de vue géométrique. La transposition est facile à faire. Résoudre l'équation f(x) = 0 où f est une fonction quelconque est équivalent à se demander en quels points de l'axe X la courbe y = f(x) rencontre cet axe, car lorsque la courbe rencontre l'axe X, cela correspond au fait que y vaut 0. De même résoudre un système de deux équations à deux inconnues f(x,y) = 0 et g(x,y) = 0 est équivalent à rechercher les points de rencontre des courbes f(x,y) = 0 et g(x,y) = 0, car en un quelconque de ces points de rencontre, chacune des équations sera satisfaite.

Si la courbe représentant la fonction y = f(x) est une droite alors l'équation correspondante est dite linéaire. Ainsi l'équation 2x - 2 = 0 est linéaire car le graphique de la fonction correspondante, soit y = 2x - 2, est une droite alors que l'équation 2x2 + 4x + 3 = 0 est non linéaire car le graphique de la fonction y = 2x2 + 4x + 3 n'est pas une droite mais une parabole. De même si les courbes représentant les deux équations f(x,y) = 0 et g(x,y) = 0 sont des droites on parlera d'un système d'équations linéaires.

Plusieurs phénomènes naturels se décrivent par des modèles linéaires. Ainsi, par exemple, si la hauteur d'une plante croît à raison de 2cm/jour et qu'elle mesure aujourd'hui 10 cm il sera facile de prévoir sa hauteur dans 10 jours. Mathématiquement, la relation entre la hauteur H (en cm) et le temps T (en jours) peut s'exprimer comme suit : H = 2T +10. Le graphique d'une telle équation est une droite. Si on demandait à quel moment la plante est sortie de terre (H valait 0 à ce moment) il faudrait résoudre l'équation 2T + 10 = 0. La solution est T = -5, c'est-à-dire il y a 5 jours. Par ailleurs, si la croissance de la plante était erratique, dépendant du nombre d'heures d'ensoleillement par exemple, ce qui serait bien normal, il serait alors beaucoup plus difficile de prévoir sa hauteur dans dix jours.

Lorsqu'une relation entre deux variables, telles H et T, est linéaire cela signifie qu'à un même accroissement de la variable T correspondra un même accroissement de H. Cela dit, un grand nombre de phénomènes naturels ou créés par l'homme ne se modélisent pas au moyen de relations linéaires. Ainsi, pour donner un exemple en économie, un montant A placé pour T années à un taux intérêt composé de 10 % donnera, après T années, un montant C égal à A(1,10)T. Cette relation n'est pas linéaire. En effet, au cours de la dixième année, par exemple, le capital augmentera beaucoup plus qu'au cours de la première année. Si l'intérêt ne portait pas lui-même intérêt, la relation serait par ailleurs linéaire C = 1,0 AT.

Dans le domaine des équations différentielles, qui servent à modéliser un grand nombre de phénomènes, la notion de linéarité est plus difficile à définir. Contentons-nous de donner quatre exemples à partir desquels nous pourrons préciser un tant soit peu cette notion. d2y/dx2 + y = 0 est une équation différentielle linéaire dont les solutions sont de la forme y = Acos(x) + Bsin(x) où A et B sont des constantes qui seront déterminées par les conditions initiales de la situation décrite par l'équation.

L'équation différentielle d2y/dx2 + y2 = 0 n'est pas linéaire.
L'équation ydy/dx + sin(x) = 0 est non-linéaire.
L'équation différentielle d2q/dt2 + bdq/dt + asin(q) = 0 est non-linéaire.

Cette dernière équation est utilisée pour étudier le mouvement d'un pendule où q représente la position angulaire du pendule (l'angle avec la verticale), b est un facteur d'amortissement (lors du mouvement du pendule il y aura une perte d'énergie due à la résistance de l'air de sorte qu'éventuellement, peut importe les conditions initiales, le pendule finira par s'arrêter) et a est une constante liée à la longueur du fil du pendule et à la force de gravité. Résoudre une telle équation c'est trouver une fonction q(t) qui satisfait l'équation ainsi que les conditions initiales. Si on connaît cette fonction alors on pourra prédire où sera le pendule à tout Instant. Dans les cours élémentaires de physique, on simplifie la situation de sorte que le mouvement peut alors être décrit par une équation différentielle linéaire dont les solutions sont beaucoup plus faciles à obtenir. Par exemple, en négligeant la résistance de l'air et en supposant que les oscillations du pendule sont petites, l'équation différentielle peut être ramenée à d2q/dt2 + aq = 0 qui est linéaire (pour de petites oscillations, la valeur de sin q est à peu près égale à q). Mais, en simplifiant ainsi, il faut comprendre que l'on s'éloigne de la réalité du pendule. Dans la réalité, les mouvements d'un pendule peuvent être très complexes... le pendule pouvant, par exemple, faire des tours complets autour de son point d'attache.

La non-linéarité d'une équation est liée à des facteurs tels les suivants :
La fonction recherchée apparaît dans l'équation avec une puissance supérieure à 1 (c'est le cas du deuxième exemple).
La fonction recherchée apparaît comme argument d'une autre fonction (c'est le cas des exemples 3 et 4 à cause du terme sinus).
La fonction recherchée apparaît dans un terme de l'équation qui comprend aussi la dérivée de cette même fonction (c'est le cas de l'exemple 3).

Les équations différentielles non-linéaires sont généralement extrêmement difficiles à résoudre. Malheureusement, la majorité des phénomènes physiques donnent lieu à de telles équations. C'est ce type de difficulté, de même que l'importance pratique de ces questions, qui explique le très grand nombre de recherches qui sont aujourd'hui menées sur ce sujet.

Signalons, en particulier, que les modèles mathématiques qui ont été élaborés pour tenir compte, de façon unifiée, des différentes facettes du climat global (l'atmosphère, les mers, les glaciers, etc.) utilisent des systèmes complexes d'équations différentielles non-linéaires. Par la suite, les prédictions que permettent ces modèles sont confrontées avec les données qui sont recueillies en différent points de la terre. Pour faire ces prédictions, à l'aide des plus puissants ordinateurs, les calculs requis peuvent nécessiter des centaines d'heures. Il ne s'agit donc pas simplement ici de prédire le temps qu'il fera demain à Montréal!