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équations différentielles etdescription du monde physique
Les équations mathématiques contenant des dérivées de fonctions d'une ou de plusieurs variables sont appelées des équations différentielles. Lorsqu'il s'agit de dérivées de fonctions à une seule variable, on parle d'équations différentielles ordinaires; dans le cas des fonctions de plusieurs variables, on parle d'équations aux dérivées partielles. La dérivée d'une fonction d'une variable représente le taux de variation de cette fonction pour chaque valeur de la variable indépendante. Pour des fonctions de plusieurs variables, il y a plusieurs taux de variation, donc plusieurs dérivées (une pour chaque variable indépendante).
Exemple : Imaginons un mobile se déplaçant en ligne droite et dont la vitesse au temps t, en mètres / seconde, est proportionnelle au temps t. Ainsi plus le temps passe et plus le mobile avance rapidement. Cette situation peut être décrite par une équation différentielle très simple, où k est la constante de proportionnalité :
Exemple : Imaginons un mobile se déplaçant en ligne droite et dont la vitesse au temps t, en mètres / seconde, est proportionnelle au temps t. Ainsi plus le temps passe et plus le mobile avance rapidement. Cette situation peut être décrite par une équation différentielle très simple, où k est la constante de proportionnalité :
Le terme
représente la vitesse (c'est le taux de variation de l'espace parcouru par rapport au temps). Résoudre cette équation, c'est trouver une fonction x(t) qui satisfait l'équation et qui est telle que x(0) = 0, c'est-à-dire qu'au temps 0 la distance parcourue par le mobile est 0. On peut montrer facilement que cette solution est
. Ainsi, si la valeur de k est 2, par exemple, on pourra trouver la distance parcourue en mètres après 5 secondes en évaluant 2 *25 /2 = 25 mètres.
Les équations différentielles sont fréquemment utilisées dans diverses sciences telles la physique, la théorie des ondes en général, l'astrophysique, les théories économiques, etc. Une solution d'une équation différentielle n'est pas un nombre, comme dans les équations algébriques, mais une fonction qui satisfait l'équation.
représente la vitesse (c'est le taux de variation de l'espace parcouru par rapport au temps). Résoudre cette équation, c'est trouver une fonction x(t) qui satisfait l'équation et qui est telle que x(0) = 0, c'est-à-dire qu'au temps 0 la distance parcourue par le mobile est 0. On peut montrer facilement que cette solution est . Ainsi, si la valeur de k est 2, par exemple, on pourra trouver la distance parcourue en mètres après 5 secondes en évaluant 2 *25 /2 = 25 mètres.Les équations différentielles sont fréquemment utilisées dans diverses sciences telles la physique, la théorie des ondes en général, l'astrophysique, les théories économiques, etc. Une solution d'une équation différentielle n'est pas un nombre, comme dans les équations algébriques, mais une fonction qui satisfait l'équation.
Voici les fameuses équations de Maxwell, qui sont les quatres équations différentielles fondamentales (aux dérivées partielles) que doivent satisfaire le champ électrique
et le champ magnétique
constituant une onde électromagnétique :
et le champ magnétique constituant une onde électromagnétique :
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