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la représentation binaire des nombresTout nombre peut s'écrire en utilisant les symboles 0,1,2,3,4,5,6,7,8 et 9. C'est la méthode bien connue de la représentation décimale des nombres. L'idée est simple mais ingénieuse. Tout nombre entier peut s'écrire de façon unique comme une somme de puissances de 10 avec des coefficients entiers allant de 0 à 9. Prenons par exemple le nombre cent vingt trois. On peut l'écrire comme suit :
1.102 + 2.101 + 3.100
. 1.102 + 2.101 + 3.100
(N.B. tout nombre affecté de l'exposant 0 vaut 1 : 100 = 1.)
Alors, pour écrire cent vingt trois on ne conserve que les coefficients : 123.
Cette idée se généralise à toute base. Tentons par exemple d'écrire le nombre cent vingt trois dans la base sept :
cent vingt-trois = 2.72 + 3.71 + 4.70.
Cette idée se généralise à toute base. Tentons par exemple d'écrire le nombre cent vingt trois dans la base sept :
cent vingt-trois = 2.72 + 3.71 + 4.70.
Ainsi cent vingt-trois s'écrit 234 dans la base sept.
Mais la différence avec la représentation en base 10 est énorme, car les noms des nombres ont été choisis en fonction de la base 10. Pour cette raison, si on demande quel nombre est représenté par 234 dans la base 7, on ne connaîtra pas la réponse de manière immédiate comme c'est le cas pour les nombres dans la base 10.
Avec les ordinateurs, il est plus simple d'écrire les nombres en base deux, c'est-à-dire en n'utilisant que deux symboles 0 et 1. Avec une telle représentation, l'écriture d'un nombre est plus longue mais les calculs se font plus rapidement par une machine.
Comment s'écrit le nombre cent vingt-trois dans la base deux ? cent vingt-trois =
1.26 + 1.25 + 1.24 + 1.23 + 0.22 + 1.21 +1.20.
Mais la différence avec la représentation en base 10 est énorme, car les noms des nombres ont été choisis en fonction de la base 10. Pour cette raison, si on demande quel nombre est représenté par 234 dans la base 7, on ne connaîtra pas la réponse de manière immédiate comme c'est le cas pour les nombres dans la base 10.
Avec les ordinateurs, il est plus simple d'écrire les nombres en base deux, c'est-à-dire en n'utilisant que deux symboles 0 et 1. Avec une telle représentation, l'écriture d'un nombre est plus longue mais les calculs se font plus rapidement par une machine.
Comment s'écrit le nombre cent vingt-trois dans la base deux ? cent vingt-trois =
1.26 + 1.25 + 1.24 + 1.23 + 0.22 + 1.21 +1.20.
Ainsi la représentation binaire de cent vingt-trois est 1111011.
La représentation binaire du nombre 7 est 111. En effet 7 est égal à
Pour trouver la représentation binaire d'un nombre A, la première étape consiste à déterminer la plus grande puissance de 2 inférieure ou égale au nombre A. Nommons cette puissance
. Puis on continue en utilisant les puissances inférieures de 2 pour représenter la différence entre A et .
À la fin, on ne conservera que la suite des coefficients de l'ensemble des puissances de 2. Il s'agit là de la même idée que celle utilisée pour représenter des nombres dans la base dix.
Chacun des symboles 0 et 1 est ce que l'on appelle un bit d'information. Ainsi l'écriture du nombre cent vingt trois nécessite sept bits. Si on dispose de huit bits on pourra écrire tous les nombres entre 0 et 255. Par ailleurs si on est limité à huit bits on ne pourra pas écrire le nombre deux cent cinquante six dans la base deux car 9 bits d'information sont alors requis.
. Puis on continue en utilisant les puissances inférieures de 2 pour représenter la différence entre A et . À la fin, on ne conservera que la suite des coefficients de l'ensemble des puissances de 2. Il s'agit là de la même idée que celle utilisée pour représenter des nombres dans la base dix.
Chacun des symboles 0 et 1 est ce que l'on appelle un bit d'information. Ainsi l'écriture du nombre cent vingt trois nécessite sept bits. Si on dispose de huit bits on pourra écrire tous les nombres entre 0 et 255. Par ailleurs si on est limité à huit bits on ne pourra pas écrire le nombre deux cent cinquante six dans la base deux car 9 bits d'information sont alors requis.
| Nombre décimal | Nombre en base 2 sur 8 bits |
| 0 | 00000000 |
| 1 | 00000001 |
| 2 | 00000010 |
| 3 | 00000011 |
| 4 | 00000100 |
| 5 | 00000101 |
| 6 | 00000110 |
| 7 | 00000111 |
| 8 | 00001000 |
| 9 | 00001001 |
| 10 | 00001010 |
| 11 | 00001011 |
| 12 | 00001100 |
| 13 | 00001101 |
| 14 | 00001110 |
| 15 | 00001111 |
| 16 | 00010000 |
| 17 | 00010001 |
| 18 | 00010010 |
Revenons aux adresses Internet qui sont constituées d'une série de quatre nombres entiers de 0 à 255.
Un exemple d'adresse serait 123.225.238.18. Dans cet exemple nous avons écrit l'adresse dans le système décimal. L'écriture d'une adresse dans le système binaire peut donc utiliser jusqu'à 32 bits d'information. Quel est alors le nombre d'adresses possibles ? Ce nombre est égal à 232, soit environ 4 milliards. En effet, pour construire une adresse, on choisit tout d'abord un premier nombre entre 0 et 255, puis un second nombre entre 0 et 255. Ainsi, après deux étapes, on a 256 x 256 possibilités d'adresses. Si on choisit maintenant un troisième nombre entre 0 et 255, puis un quatrième, le nombre d'adresses possibles sera
256 x 256 x 256 x 256 = 232; ce qui est près de 4 milliards.
Un exemple d'adresse serait 123.225.238.18. Dans cet exemple nous avons écrit l'adresse dans le système décimal. L'écriture d'une adresse dans le système binaire peut donc utiliser jusqu'à 32 bits d'information. Quel est alors le nombre d'adresses possibles ? Ce nombre est égal à 232, soit environ 4 milliards. En effet, pour construire une adresse, on choisit tout d'abord un premier nombre entre 0 et 255, puis un second nombre entre 0 et 255. Ainsi, après deux étapes, on a 256 x 256 possibilités d'adresses. Si on choisit maintenant un troisième nombre entre 0 et 255, puis un quatrième, le nombre d'adresses possibles sera
256 x 256 x 256 x 256 = 232; ce qui est près de 4 milliards.
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