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la théorie des nombres et les méthodesd'encryption et de décryption
La théorie des nombres est un domaine de la mathématique qui a été longtemps cultivé uniquement pour sa beauté intrinsèque et l'élégance de ses méthodes. Jusqu'à tout récemment, cette théorie des nombres n'avait pas beaucoup d'applications pratiques. Aujourd'hui, elle est à la base des méthodes les plus sécuritaires pour encoder des données avant de les transmettre sur les réseaux informatiques.
Ce sont les Grecs qui les premiers se sont intéressés à la suite infinie des nombres naturels 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... et, à l'intérieur de cette suite, ils ont défini diverses catégories de nombres qui leur semblaient intéressantes, notamment celle des nombres premiers. Rappelons qu'un nombre est premier s'il n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même.
La suite des nombres premiers commence comme suit : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...
Les Grecs ont démontré diverses propriétés importantes des nombres premiers. Signalons deux de ces propriétés :
Ce sont les Grecs qui les premiers se sont intéressés à la suite infinie des nombres naturels 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... et, à l'intérieur de cette suite, ils ont défini diverses catégories de nombres qui leur semblaient intéressantes, notamment celle des nombres premiers. Rappelons qu'un nombre est premier s'il n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même.
La suite des nombres premiers commence comme suit : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...
Les Grecs ont démontré diverses propriétés importantes des nombres premiers. Signalons deux de ces propriétés :
| • | La suite des nombres premiers est infinie. En effet, Euclide a démontré qu'on ne peut pas trouver un nombre premier qui serait plus grand que tous les autres. Vous pouvez consulter cette démonstration ici. |
| • | Tout nombre entier supérieur à 1 et qui n'est pas un nombre premier peut s'écrire comme un produit de nombres premiers. De plus, pour chaque nombre, cette décomposition en facteurs premiers est unique, si on ne tient pas compte de l'ordre des facteurs. |
La décomposition d'un nombre comme produit de nombres premiers est un problème difficile, sauf pour de petits nombres. Voyons quelques exemples :
111 = 3 x 37
12 121 = 17 x 23 x 31
111 111 = 3 x 7 x 11 x 13 x 37
19 307 689 = 3251 x 5939
11 111 111 111 111 = 11 x 239 x 4649 x 909 091
Pour les trois premiers nombres, vous auriez pu facilement trouver la décomposition sur papier. Pour les deux derniers cependant, vous auriez eu beaucoup plus de mal à y arriver de cette façon.
À l'aide d'un programme informatique, sur micro-ordinateur, on peut factoriser rapidement des nombres qui ne sont pas trop grands. Par exemple l'ordinateur trouvera la factorisation de 19 307 689 en moins d'une seconde. Mais pour de très grands nombres, comportant disons 200 chiffres ou plus, les ordinateurs les plus rapides ne peuvent les factoriser en un temps acceptable. Ainsi, avec les méthodes connues de factorisation, quarante millions d'années seraient requises à un ordinateur, pour factoriser un nombre comportant 200 chiffres.
C'est la difficulté de ce problème de factorisation qui, en 1976, a donné l'idée à trois chercheurs du Massachusetts Institute of Technology (MIT), Ron Rivest, Adi Shamir et Len Adleman, de développer un système d'encodage, nommé RSA en leur honneur. Les messages ne peuvent être décodés que par des personnes connaissant la clé, c'est-à-dire les facteurs premiers.
Bien que les détails de leur méthode soient très techniques, l'idée de base est fort simple. Imaginons que pour décoder un message, il soit nécessaire de trouver la factorisation, en nombres premiers, d'un nombre de 400 chiffres. Dans ces conditions, avec les méthodes actuelles de factorisation, ce message serait totalement indéchiffrable sauf pour ceux qui connaîtraient à l'avance ces facteurs premiers.
L'implantation informatique complète de la méthode RSA est difficile à réaliser. En effet, l'utilisation de cette méthode nécessite la connaissance de très grands nombres premiers, de plus de 200 chiffres, ce qui constitue en lui-même un problème extrêmement difficile. Si on dispose de deux grands nombres premiers, en les multipliant on pourra construire un nombre qui servirait à coder un message. Mais la seule chose que l'on sache faire aujourd'hui, à l'aide des ordinateurs, c'est de découvrir rapidement des grands nombres qui ont une très forte probabilité d'être premiers mais on ne peut être certains qu'ils le sont! De plus, avec la méthode RSA, beaucoup de temps d'ordinateur est requis pour coder, puis pour décoder des messages complexes. Pour ces raisons, cette méthode n'est utilisée que lorsque l'enjeu est extrêmement important.
Pour en savoir plus sur l'histoire et les méthodes de codage nous vous invitons à visiter le site suivant qui est fort intéressant :
http://www.multimania.com/marief/ .111 = 3 x 37
12 121 = 17 x 23 x 31
111 111 = 3 x 7 x 11 x 13 x 37
19 307 689 = 3251 x 5939
11 111 111 111 111 = 11 x 239 x 4649 x 909 091
Pour les trois premiers nombres, vous auriez pu facilement trouver la décomposition sur papier. Pour les deux derniers cependant, vous auriez eu beaucoup plus de mal à y arriver de cette façon.
À l'aide d'un programme informatique, sur micro-ordinateur, on peut factoriser rapidement des nombres qui ne sont pas trop grands. Par exemple l'ordinateur trouvera la factorisation de 19 307 689 en moins d'une seconde. Mais pour de très grands nombres, comportant disons 200 chiffres ou plus, les ordinateurs les plus rapides ne peuvent les factoriser en un temps acceptable. Ainsi, avec les méthodes connues de factorisation, quarante millions d'années seraient requises à un ordinateur, pour factoriser un nombre comportant 200 chiffres.
C'est la difficulté de ce problème de factorisation qui, en 1976, a donné l'idée à trois chercheurs du Massachusetts Institute of Technology (MIT), Ron Rivest, Adi Shamir et Len Adleman, de développer un système d'encodage, nommé RSA en leur honneur. Les messages ne peuvent être décodés que par des personnes connaissant la clé, c'est-à-dire les facteurs premiers.
Bien que les détails de leur méthode soient très techniques, l'idée de base est fort simple. Imaginons que pour décoder un message, il soit nécessaire de trouver la factorisation, en nombres premiers, d'un nombre de 400 chiffres. Dans ces conditions, avec les méthodes actuelles de factorisation, ce message serait totalement indéchiffrable sauf pour ceux qui connaîtraient à l'avance ces facteurs premiers.
L'implantation informatique complète de la méthode RSA est difficile à réaliser. En effet, l'utilisation de cette méthode nécessite la connaissance de très grands nombres premiers, de plus de 200 chiffres, ce qui constitue en lui-même un problème extrêmement difficile. Si on dispose de deux grands nombres premiers, en les multipliant on pourra construire un nombre qui servirait à coder un message. Mais la seule chose que l'on sache faire aujourd'hui, à l'aide des ordinateurs, c'est de découvrir rapidement des grands nombres qui ont une très forte probabilité d'être premiers mais on ne peut être certains qu'ils le sont! De plus, avec la méthode RSA, beaucoup de temps d'ordinateur est requis pour coder, puis pour décoder des messages complexes. Pour ces raisons, cette méthode n'est utilisée que lorsque l'enjeu est extrêmement important.
Pour en savoir plus sur l'histoire et les méthodes de codage nous vous invitons à visiter le site suivant qui est fort intéressant :
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